一、 基本知识

二、拓展知识

例1 如图 ，有一个棱长 4cm 的正方体，从它的右上方截去一个长、宽、高分别为 4cm 、2cm 、1cm 的长方体，求剩下部分的表面积。

解：将剩下多面体的两个面平移，

则 多面体比原正方体前、后各少了两个面，

∴ 剩下部分的表面积是：

（4×4）×6 –（1×2）×2

= 96 – 4

= 92（cm2）

答：剩下部分的表面积是 92cm2。

【思考1 】 大正方体的边长是 4cm ，在此正方体的上面的正中间向下挖一个边长为 2cm 的正方形小洞。那么得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

提示：立体图表面积 = 原正方表面积 + 挖后增加面积 （答案：112 cm2 ）

例2 长方体的右面和上面面积之和是 209cm2 ，它的长、宽、高都是质数，则这个长方体的体积为多少立方厘米？

【思考2 】 如图 ，一个正方体被切成 24 个长方体，这些小长方体的表面积总和为 162cm2 ，求这个正方体的体积

提示：分成 24 个小长方体，正方体共切了 6 刀，每切 1 刀增加 2 个正方体的面。

则 切 6 刀后，正方体的面共增加了：（2×6）个

即 每面面积×6 + 每面面积×（2×6）= 162

可求出正方体：每面面积、棱长，从而求出这个正方体的体积。（答案：27 cm3 ）

例3 一个长方体木块，从上部截去高为 6cm 的长方体后，得到一个正方体，这个正方体的表面积比原来长方体减少了120cm2 ，原来长方体的体积是多少立方厘米？

解：∵ 截去小长方体后，得到一个正方体，

∴ 原长方体的上、下底必是正方形，减少的 120cm2 必是小长方体的侧面积。

原底面周长： 减少的侧面积÷截去的高 = 120÷6 = 20（cm）

原底面边长： 底周长÷4 = 20÷4 = 5（cm）

原长方体高： 6 + 5 = 11（cm）

∴ V = 5×5×11 = 275（cm3）

答：原来长方体的体积是 275cm3 。

【思考3 】 一个长方体大木块，从下部和上部分别截去高为 3cm 和 2cm 的长方体后，使之成为一个正方体，表面积减少 120cm2 ，原来长方体的体积是多少立方厘米？

提示：截去两个小长方体后，得到一个正方体，原长方体的上、下底必是正方形，减少的 120cm2 必是两个小长方体的侧面积。

原底面周长 = 减少的侧面积÷截去两个高的和

原底面边长 = 底周长÷4

原长方体高 = 3 + 原底面边长 + 2

然后求出原长方体的体积。 （答案：396 cm3 ）

例4 一个棱长为 11 厘米的正方体，在它相邻的三个面中心处各凿一个长、宽各 3 厘米的洞，所凿的洞均穿透这个正方体，现在这个物体的表面积和体积各是多少？

解：外表面积：

11×11×6 – 3×3×3 =（121 – 9）×6

= 112×6

= 672（cm2）

内表面积：

{ [ 3×（11 – 3）]×4 }×3 = 3×8×4×3

= 32×9

= 288（cm2）

∴ 表面积是：

672 + 288 = 960（cm2）

原来体积：

11×11×11 = 1331（cm3）

凿去体积：

[ 3×3×（11 – 3）÷2 ]×6 + 3×3×3

= 36×6 + 27

= 216 + 27

= 243（cm3）

∴ 现体积是：

1331 – 243 = 1088（cm3）

答；现在这个物体的表面积和体积各是960平方厘米和1088立方厘米。

【思考4 】 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔，求这个立体图形的表面积。

S立表 =（2×2×6）×8 +（1×1×6）×12–[（1×1×2）×2 ] ×12

= 192 + 72 – 48

= 216（cm2）

答：这个立体图形的表面积是 216cm2 。

例5 如图是由 120 块小立方体构成的 4×5×6 的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中的一面、二面、三面被涂成红色的小立方体各有多少块？

解: 一面涂红看面里，有：

（4 – 2）×（5 – 2）×2 +（5 – 2）×（6 – 2）

×2 +（4 – 2）×（6 – 2）×2

= 12 + 24 + 16

= 52（块）

二面涂红看棱中，有：

（4 – 2）×4 +（5 – 2）×4 +（6 – 2）×4

= 8 + 12 + 16

= 36（块）

三面涂红看顶点，有：8 块。

答：一面、二面、三面涂红的小立方体各有 52 、36 、8 块。

【思考5 】 一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于 1 立方厘米的小正方体，如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于 13 ， 那么两面带红色的小正方体的个数等于多少？

两面带红共有：

4 [（a – 2）+（b – 2）+（c – 2）]

= 4×[ 13 + 1 + 1 ] = 4×15 = 60（个）

答：两面带红色的小正方体的个数等于 60 。