什么叫实数(如何理解实数的连续性)
很多人都知道:在实数范围内,每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,我们说实数和数轴上的点一一对应。
什么叫一一对应?一条数轴上有无数个点,可以说是“密密麻麻”的,实数有无数个,数都数不清楚。有理数和无理数构成实数,在直线上取定一个原点,一个单位长和一个方向,直线就成了数轴。因此,数轴上的每个点代表一个实数,每个实数都可以用数轴上的一个点表示。实数可以连续变化,就是说点可以在数轴上连续地运动。
如整数由小到大的变化是跳跃式的,从整数1到整数2,中间没有任何整数;但有理数从1变到2,它们之间是密密麻麻的,跨过了许多分数,看上去找不到一段“空白”,中间似乎没有跳跃。事实上有理数从l变到2并非连续地变化,因为中间跨过了许多无理数,如2的算术平方根。
因此,有理数之间的“空白部分”加上无理数构成实数,实数就可以连续变化。这种连续性可以说变量x从1变到2,意味着x要取遍1到2之间的一切实数。
我们设想用一把剪刀剪断数轴,把数轴剪成两段,那么剪刀一定会剪在某个点上,即剪中了某一个实数。如果剪刀只是剪在一个隙缝上,意味着实数就不是连续的。
这时候有读者会产生疑问,如果没有隙缝,那么应该剪在哪里呢?如果剪在某一个点上,那么这个点在哪半截数轴上呢?我们假设是从数轴点A处被剪断的,那么这个点不在左半截上,就在右半截上。因为点不可分割,同时不会消失,所以不会两边都有,也不会两边都没有。因此,不管把数轴从什么地方分成两半截,总有半截是带端点的,而另外半截没有端点。从这个假想中我们可以领会到数轴、实数的连续性。
如果把全体负有理数放在一起组成甲 *** ,所有正有理数组成乙 *** ,则甲 *** 无更大数,乙集也无最小数。若从甲乙两个 *** 之间剪一刀,就剪在缝里了。然而在实数系中,这个缝就是用无理数填补起来。
这样把有理数分成甲、乙两部分,使乙中每个数比甲中每个数大,这种分法叫做有理数的一个戴德金分割,简称分割。有理数的每个分割确定一个实数。有缝隙的分割确定一个无理数,没有缝隙的分割确定一个有理数。这样建立实数系的 *** 是德国数学家戴德金(J.W.R. Dedekind,1831~1916)提出来的。
我们把全体实数分成甲、乙两个非空 *** ,如果甲 *** 里任一个数a比乙 *** 里的任一个数b都小,或者甲 *** 里有更大数,或者乙集里有最小数,两种情况必居其一,有且只有一种,这就叫做实数的连续性。
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