初等函数(基本初等函数的图像与性质)

访客4年前黑客文章985

初等函数(基本初等函数的图像与性质)

在数学的发展过程中,形成了最简单最常用的六类函数,即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数,这六类函数称为基本初等函数。

一、常数函数

y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。它的图像是通过点 (0,c),且平行 x 轴的直线,如下图所示:

常数函数的图像

常数函数的性质:

1、常数函数是有界函数,周期函数(没有最小的正周期)、偶函数;

2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数,特别的当 c = 0 时,它还是奇函数 。

二、幂函数

1、形如 y = x^a 的函数是幂函数,其中 a 是实数 。

幂函数图(1)

2、常见幂函数的图像:

幂函数图(2)

注:画幂函数图像时,先画之一象限的部分,在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质:

① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限,且不经过第四象限;如图与坐标轴相交,则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 (0,+∞)上都有定义,并且图像都经过点 (1,1)。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 (0,0)和(1,1),在之一象限内递增;

若 a < 0 ,幂函数图像只经过点 (1,1),在之一象限内递减 。

三、指数函数

1、一般地,函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1百思特网)叫做指数函数,自变量 x 叫做指数,a 叫做底数,函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像:

指数函数图象

3、指数函数的性质:

① 指数函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)的函数值恒大于零 ,定义域为 R ,值域为 (0,+∞);

② 指数函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)的图像经过点 (0,1);

③ 指数函数 y = a^x (a > 1)在 R 上递增 ,指数函数 y = a^x (0 < a < 1)在 R 上递减 。

四、对数函数

1、对数及其运算:

一般地,如果 a (a > 0 , a ≠ 1)的 b 次幂等于 N ,即 a^b = N,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数;

记作:logaN = b , 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数 。

根据对数定义可知:

① 零和负数没有对数,真数大于零;② 1 的对数为 0 , 即 loga1 = 0 ;

③ 底的对数等于 1 ,即 logaa = 1 ;④ 对数恒等式:a^(logaN) = N 成立 。

通常以 10 为底的对数叫做常用对数,常用对数 log10N 简记作 lgN;

以无理数 e = 2.71828 ... 为底的对数叫做自然对数,自然对数 logeN 简记作 lnN 。

对数运算性质:如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 , 那么 :

对数运算性质图

2、对数函数:

一般地,对数函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)就是指数函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)的反函数。

因为指数函数 y = a^x (a > 0 且 a ≠ 1)的值域是 (0,+∞),

所以对数函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)的定义域是 (0,+∞)。

3、对数函数的图像:

对数函数的图像

4、对数函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)的性质:百思特网

① 对数函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)的图像都在 y 轴的右侧,定义域是 (0,+∞),值域是 R ;

② 对数函数 y = logax (a > 0 且 a ≠ 1)的图像都经过点 (1,0);

③ 对数函数 y = logax (a > 1): 当 x > 1 时,y > 0 ;当 0 < x < 1 时,y < 0 ;

对数函数 y = logax (0 < a < 1): 当 x > 1 时,y < 0 ;当 0 < x < 1 时,y > 0 。

④ 对数函数 y = logax (a > 1)在 (0.+∞)上是增函数,

对数函数 y = logax (0 < a < 1)在 (0.+∞)上是减函数 。

五、三角百思特网函数与反三角函数

1、三角函数:y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x ;

2、反三角函数 : y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x 。

3、三角函数的图像:

三角函数图像(1)

三角函数图像(2)

4、三角函数的性质:

三角函数的性质图

注:凡是由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等函数。

狄利克雷函数 D(x), 符号函数 sgn x ,整数函数 [ x ] 等都不是初等函数 。

欢迎关注头条号“尚老师数学”!


相关文章

韩国2家养殖场现禽流感托管中心疫情 官员吁遵守防疫守则

  中新网2月8日电 据韩国国际广播电台(KBS)报道,韩国全罗南道灵岩和忠清北道槐山种鸭养殖场,出现高致病性禽流感疫情。韩国中央事故处理本部有关人士表示,养殖场的场主遵守基本防疫守则至关重要。  ...

三亚私人伴游-【钱育】

“三亚私人伴游-【钱育】” 张sir的伴游旅行期待:17311看看极品高端商务想对您说的话 商务预约留言:反叛里表达着真心,调皮中显露出真情。绝非俗物的我,可爱俏丽,充满着孩子气,随时等待着哥哥们的调...

雾霾带什么口罩(什么样的口罩防雾霾)

雾霾带什么口罩(什么样的口罩防雾霾)

冬天雾霾什么的真是太讨厌了!想买个口罩戴起来,但是花花绿绿的防霾口罩让人目不暇接,又难以选择。雾霾天到底戴什么样的口罩才安心?今天小荔枝就给大家说道说道。 雾霾天才有的奇观! 首先,应充分考虑...

不是所有的商品,都适合做私域流量

不是所有的商品,都适合做私域流量

不是所有的商品都适合私域流来变现,盲目把它当作抵抗疫情的救命稻草,只会让你的钱打了水漂。所以在决定去做私域流量的时候,你的先思考好,你商品是真的适合吗? 在谈这个话题之前,来了解下私域流量和公域流量...

苏州高端儿商务儿经纪在线预约联系方式

有得多林林总总的小学妹都是从底层混起来的,他们需求经验林林总总的潜规定,能力停止上位,有得多的立体小学妹混进去之后,他们都能升下来,正在这些“姑苏高端商务陪伴小学妹掮客正在线在线预约分割形式”上海商务...

追看视频:新用户注册免费送1元,天天看直播赚钱!

在一些平台做义务时,经常会弹出一些广告,让人很厌恶,不外我却从中发现一些不错的平台,好比这个“追看视频”,以前叫YY极速版,现在新用户注册填写约请码可免费领取1米可直接提现支付宝,几分钟到账,老用户也...