香农采样定理(香农定理通俗解释)

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香农采样定理(香农定理通俗解释)通信M班长2018-12-16 17:33:42


【通信技术基础第8讲】

佛曰:一花一世界,一叶一菩提。

一花一世界,一叶一菩提。

我们所看所听的世界是连续的,亮暗、高低、大小、快慢......都是连续变化,这些变化如果画到坐标轴里,百思特网就会变成连续的信号,课本上称为模拟信号。而我们的电子设备处理的却是0-1信号。本文所说的抽样定理便是联系模拟与数字信号之间的桥梁。

图片来源: *** ;声音数字化过程与还原过程

上图所示,一位同学的歌声,通过麦克风记录下来,此时为连续的模拟信号。然后通过声卡转换为数字信号,便可以存储,计算。如果需要收听这段声音,那么再通过声卡与音响还原。

所以我们不禁要问,如何将模拟信号数字化呢,数字化之后还能够无失真的还原它?

下图告诉我们,一个模拟信号m(t)需要经过抽样、量化、编码三个步骤才能变成数字信号,然后在信道内传输。其中的抽样是之一步,也是至关重要的一步。

图片来源: *** ;模拟信号数字化

如果让小朋友来解决这个问题,他们也会想到,对于一个连续的曲线,我在其中抽出百思特网一定的点来,这些点不就变成了离散的信号了吗?然后我们再量化编码变成数字信号。没错,我们本文要说的就是,怎么抽样,按照什么样的频率进行?

图片来源: *** ;对模拟信号“筛选”

冲激抽样

之前我们学习过冲激函数,我们用冲激函数去乘以函数f(t),会得到冲激处的函数值,我们当时称之为“筛选”特性,没错,这百思特网个就是抽样。

假设函数为f(t),抽样函数为p(t)为周期冲激函数,现在用p(t)对f(t)进行抽样,得出的抽样结果为fs(t)。这三个函数的频域表达式分别为F(w),P(w),Fs(w)。


信号f(t)的傅里叶变换为F(w),更大频率为Wm。抽样函数p(t)的傅里叶系数为Pn,傅里叶变换为P(w),那么fs(t)=f(t)*p(t),其傅里叶变换为Fs(w)。在这种情况下抽样信号fs(t)是由一系列冲激函数构成,每个冲激的间隔为Ts而强度等于连续信号的抽样值f(nTs),如上图所示。

周期信号的傅里叶变换

我们用周期冲激信号去抽样原始的信号?那么周期间隔Ts如何确定?如果间隔太大,看起来会丢失太多的信息;如果间隔太小,是不是信息又有点冗余了?

抽样频率选择稀疏点?还是密集些呢?

时域抽样定理

一个频率受限的信号f(t),如果频谱只占据-Wm~Wm的范围,则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一的的表示。而抽样间隔必须不大于1/2fm,Wm=2**fm,或者说,更低抽样频率为2fm。也即Ws≥2Wm。

通常我们这个更低的抽样频率叫做fs=2fm,“奈奎斯特频率”,把更大允许的抽样间隔Ts=/Wm=1/2fm称为“奈奎斯特间隔”。

图片来源:Wiki;不同的抽样频率fs造成的波形腾挪

所以,这就是有名的香农采样定理,又称奈奎斯特采样定律。为什么又冒出一个香浓呢?

采样定理1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。

抽样定理

抽样频率的选择,在时域上很难做出判断,虽然我们常识上觉的应该越密集越好。但是我们换个角度,看看频域呢?如果我们得到了一个完整的F(w),那么根据傅里叶反变换,可以得到完整的f(t)。OK,这样信号被我们还原出来了。

由于抽样后的信号fs(t)的频率是按照抽样频率fs进行两边腾移,如果这个fs小于2倍的fm,必然会造成腾移的过程中,波形相互影响,这样频域的波形失真了。我们用失真的波形再去还原f(t),必然与实际不符。(图中用角频率w表示)

从频域上看,抽样定理是显而易见的,就是防止波形叠加失真。

压缩感知

班长在上学的时候呢,压缩感知的研究内容非常火爆。其实就是信号满足一定条件时候,我们不需要用2倍的频率去抽样。即当信号是稀疏或可压缩的,我们可以某个线性投影的方式来得到信号的压缩后表示condensed representation,得到的数据能够以无失真或较低失真地方式重建原始的数字信号。

图片来源: *** ;压缩感知

学习压缩感知,需要一定的线性代数基础,班长会在后续的文章中详细阐述,这里不再赘述。

图片来源: *** ;图像处理领域中面临的困扰

总结

提出个疑问:我们的耳朵可以识别的声音频率为20Hz到20kHz。而且这个范围随年龄越大越窄。但我们的数字音频的采样率达到了44.1k、48k和96kHz。

图片来源: *** ;左侧为示波器中显示的连续声音信号,右侧按照44kHz采样

明明20kHz*2=40kHz就够了吗?为什么还要多那么多呢?

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