假如有些人询问你：“三角形内角和等于多少？”你毫无疑问会不加思索地对他说：“180°！”

　　倘若那人说并不是180°，那麼你很有可能会觉得他愚昧。

　　实际上，“三角形内角和相当于180°”仅仅欧几里得代数学（Euclid Geometry）中的一个定律。换句话说，在欧几里得代数学里，一个三角形的内角和相当于 180°，但假如跳出来欧几里得代数学的范畴，一个三角形的内角和就不一定相当于 180°！

　　举例说明，地球上的地球赤道、0 度经线和 90 度经线交叉组成一个“三角形”，这一“三角形”的三个角都应该是 90°，他们的和便是 270°！

　　你觉得怪异吗？你了解除开欧几里得几何图形（欧氏几何）学外，也有别的代数学吗？这种代数学称之为非欧（欧几里得）代数学。

　　欧式几何

　　要想探寻非欧几何，先要掌握欧式几何。欧几里得几何图形指依照古希腊文化一位数学家欧几里得的《几何原本》结构的代数学。有时候只表示平面图上的几何图形，即立体几何。老师课堂教学上专家教授的便是欧式几何。它有下列几个简易的公理：

　　1、随意两个点能够根据一条平行线联接。

　　2、随意直线能无尽增加成一条平行线。

　　3、给出随意直线，能够以其一个节点做为圆心点，该直线做为半经作一个圆。

　　4、全部斜角都等腰。

　　5、若两根平行线都和第三条平行线交叉，而且在同一边的内角之和低于2个斜角和，则这两根平行线在这里一边必然交叉。

　　这五条“显而易见”的公理是立体几何的基础，大家也是倚重这种公理灭掉了一道道几何图形题型。但机敏的你有没有发觉第五公设（平行面公设）和前边的四个公设较为起來，文本描述冗杂，并且不那麼不言而喻，有悖数学课的简约艺术美呢?

　　在《几何原本》中，证实前28个出题并沒有采用这一公设，这很当然造成大家考虑到：这条啰哩八嗦的公设是不是可由别的的公理和公设发布，换句话说，平行面公设可能是不必要的。

　　罗氏几何的问世

　　因而，一些一位数学家明确提出，第五公设能不得不做为公设，而做为定律？是否可以使借助前四个公设来证实第五公设？这就是几何图形发展历程上最知名的，争执了长达2000很多年的有关“直线基础理论”的探讨。

　　因为证实第五公设的难题自始至终无法得到处理，大家慢慢猜疑证实的路子走得不对。第五公设究竟是否可以使被证实？

　　到十八世纪，俄罗斯喀山大学专家教授罗巴切夫斯基（ Lobachevsky）在证实第五公设的全过程中离开了另一条路。罗巴切夫斯基的父亲“罗永浩”也一生着眼于科学研究第五公设的证实，但并没什么成效，罗永浩曾劝诫自身的孩子“小罗”：“你不要搞第五公理了，我还科学研究一辈子了，都没搞出去，这真是是一位数学家的恶梦。”

　　殊不知小罗并沒有遵从爸爸的提议。他明确提出了一个和欧氏平行公理相分歧的出题“过平行线外一点，最少能够作两根平行线和已经知道平行线不交叉”，用它来替代第五公设，随后与欧氏几何的前四个公设融合成一个公理系统软件，进行一系列的逻辑推理。他觉得假如这一系统软件为基本的逻辑推理中发生分歧，就相当于证实了第五公设。我们知道，这实际上便是数学中的反证法。

　　罗氏几何合乎单叶双曲面实体模型

　　可是，在他极其细腻深层次的逻辑推理全过程中，得到了一个又一个在判断力上难以置信，但在逻辑性上没什么分歧的出题。最终，罗巴切夫斯基得到2个关键的结果：

　　之一，第五公设不可以被证实。

　　第二，在新的公理系统软件里进行的一连串逻辑推理，获得了一系列在逻辑性上沒有分歧的新的定律，并产生了新的思想体系。这一思想体系像欧氏几何学的思想体系一样是完善的、严实的。

　　左：欧式几何 右：罗氏几何

　　这类代数学被称作罗巴切夫斯基代数学，通称罗氏代数学（Lobachevskian geometry），也是大家最开始发觉的非欧几何学。

　　罗氏代数学的公理系统软件和欧氏几何学不一样的地区，只是是把欧氏几何学平行公理“过平行线外一点，能而且只有作一条直线平行于已经知道平行线”用“过平行线外一点，最少能够作两根平行线和这一条直线平行”来替代，别的公理基本一致。因为平行公理不一样，历经演绎推理却引出来了一连串和欧氏几何学內容不一样的新出题。

　　机敏的你很有可能早已发觉，上边这种出题和大家的判断力是分歧的。可是，一位数学家们历经思索明确提出，可以用大家习惯性的 *** 作一个形象化“实体模型”来确认它的准确性。

　　拟球斜面

　　1868 年，西班牙一位数学家贝特拉米发布了一篇知名毕业论文《非欧几何解释的尝试》，证实非欧几何学能够在欧几里得室内空间的斜面（比如拟球斜面）上完成。他发觉这儿三角形的三个内角之和低于180°，这等同于给罗氏几何找到一种有现实意义的实体模型。

　　那一个时期被称作“数学王子”的高斯函数也发觉了第五公设不可以被证实，另外也进军了非欧几何学的科学研究。但高斯函数担心这类基础理论会遭受那时候教會能量的严厉打击和残害，害怕公布发布自身的科研成果，仅仅在信件中往盆友表明了自身的观点，并沒有公布适用罗巴切夫斯基的新基础理论。

　　黎曼代数学

　　那麼即然大家可以把第五千米改为“过一点，有好几条平行线与已经知道直线平行”，是否还可以改为“过一点，沒有平行线与已经知道直线平行”呢？