本文的目的是为主成分分析(PCA)提供一个完整且简单的解释,特别是其运作方式,以增进大家对该分析法的理解并加以利用,而不必具有强大的数学背景。
PCA实际上是网上广泛提及的一种 *** ,很多文章都有涉及。但是,只有极少数文章能直接切入主题,并在不过多钻研技术细节的前提下解释PCA的工作原理以及“为什么”。这就是这篇文章的目的:以更简单的方式解释主成分分析法。
在开始解释之前,本文提供了PCA在每一步骤的运作原理的逻辑解释,简化了其背后的数学概念,如标准化,协方差,特征向量和特征值,而暂未关注如何运算的问题。
什么是PCA?
PCA是一种常用于减少大数据集维数的降维 *** ,把大变量集转换为仍包含大变量集中大部分信息的较小变量集。
减少数据集的变量数量,自然是以牺牲精度为代价的,降维的好处是以略低的精度换取简便。因为较小的数据集更易于探索和可视化,并且使机器学习算法更容易和更快地分析数据,而不需处理无关变量。
总而言之,PCA的概念很简单——减少数据集的变量数量,同时保留尽可能多的信息。
逐步解释
第1步:标准化
这一步的目的是把输入数据集变量的范围标准化,以使它们中的每一个均可大致成比例地分析。
更具体地说,在使用PCA之前必须标准化数据的原因是PCA对初始变量的方差非常敏感。也就是说,如果初始变量的范围之间存在较大差异,那么范围较大的变量将占据范围较小的变量(例如,范围介于0和100之间的变量将占据0到1之间的变量),这将导致主成分的偏差。因此,将数据转换为可比较的比例可避免此问题。
在数学上,这一步可以通过减去平均值,再除以每个变量值的标准偏差来完成。
只要标准化完成后,所有变量都将转换为相同的范围[0,1]。
第2步:协方差矩阵计算
这一步的目的是:了解输入数据集的变量是如何相对于平均值变化的。或者换句话说,是为了查看它们之间是否存在任何关系。因为有时候,变量间高度相关是因为它们包含大量的信息。因此,为了识别这些相关性,我们进行协方差矩阵计算。
协方差矩阵是p×p对称矩阵(其中p是维数),其所有可能的初始变量与相关联的协方差作为条目。例如,对于具有3个变量x,y和z的三维数据集,协方差矩阵是以下的3×3矩阵:
由于变量与其自身的协方差是其方差(Cov(a,a)= Var(a)),因此在主对角线(左上角到右下角)中,实际上有每个起始变量的方差。并且由于协方差是可交换的(Cov(a,b)= Cov(b,a)),协方差矩阵的条目相对于主对角线是对称的,这意味着上三角形部分和下三角形部分是相等的。
作为矩阵条目的协方差告诉我们变量之间的相关性是什么呢?
协方差的重要标志如下:
· 如果为正,则两个变量同时增加或减少(相关)
· 如果为负,则一个减少,另一个增加(不相关)
好了,现在我们知道协方差矩阵只不过是一个表,汇总了所有可能配对的变量间相关性。让我们继续下一步。
第3步:计算协方差矩阵的特征向量和特征值,用以识别主成分
特征向量和特征值都是线性代数概念,需要从协方差矩阵计算得出,以便确定数据的主成分。开始解释这些概念之前,让我们首先理解主成分的含义。
主成分是由初始变量的线性组合或混合构成的新变量。该组合中新变量(如主成分)之间彼此不相关,且大部分初始变量都被压缩进首个成分中。所以,10维数据会显示10个主成分,但是PCA试图在之一个成分中得到尽可能多的信息,然后在第二个成分中得到尽可能多的剩余信息,以此类推。
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